Симметричное выражение относительно двух переменных
 | Симметрия в алгебре.Симметрические выражения.Рассмотрим выражение с двумя переменными Если в каждом из них переставим переменные, то есть всюду вместо
Такие выражения называются симметрическим относительно этих переменных. Наиболее простыми симметрическими выражения относительно двух переменных являются сумма и произведение этих переменных, то есть Через 1) 2) Квадратное уравнение
Найдем такое значение Пусть
Отсюда Решение симметрических систем уравнений.Если оба уравнения системы являются симметрическими многочленами от
Соответственно а) Система б) решений не имеет. Симметрия графиков функций.О симметрии графиков функций уместно говорить, когда функция является четной или нечетной. Вспомним определения: — Если для всех
— если Использование симметрии при решении задач.Решения многих задач значительно упрощаются, если использовать симметрию. Рассмотрим пример использования центральной симметрии при решении задач на построение. Задача. Через данную точку внутри угла провести прямую так, чтобы: а) отрезок этой прямой, заключенной внутри угла, делился данной точкой пополам. б) прямая отсекала от угла треугольник наименьшей площади.
а) Пусть М – данная точка. Построим угол, центрально-симметричный данному относительно точки М. Для этого достаточно построить точку О1, центрально-симметричную вершине О данного угла, а затем провести через эту точку прямые, параллельные его сторонам (рис.18). Пусть А и В – точки пересечения этих прямых со сторонами угла. Тогда прямая АВ – искомая. В самом деле, точка А является точкой пересечения прямых ОА и О1А1, а точка В – точкой пересечения симметричных им, относительно точки М прямых О1В и ОВ, поэтому точки А и В симметричны относительно точки М, а значит АМ=МВ. б) Вновь обратимся к рис.18 и докажем, что построенная нами прямая АВ – искомая. В самом деле, проведем через точку М какую-нибудь другую прямую, пересекающую стороны данного угла в точках А1 и В1, и докажем, что площадь треугольника А1ОВ1 больше площади треугольника АОВ. Прямая А1В1 пересекает либо отрезок ОА, либо отрезок ОВ. Для определенности будем считать, что она пересекает отрезок ОА. Тогда она пересекает и симметричный ему относительно точки М отрезок О1В. Пусть С – точка пересечения А1В1 и О1В. Треугольники АА1М и ВСМ симметричны относительно точки М и, следовательно, равны. Поэтому площадь треугольника АОВ равна площади трапеции ОВСА1. Площадь же треугольника А1ОВ1 больше, так как она состоит из указанной трапеции и треугольника ВВ1С. Заключение Существует множество видов симметрии как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира. Симметрия в алгебре и геометрии имеет большое значение. Я рассмотрела основные теории, связанные с симметрическими системами уравнений. Научилась решать симметрические системы уравнений, и узнала кое-что новое про симметрию графиков функций. Выбранная тема актуальна, так как в средней школе не рассматриваются все виды симметрий в алгебре и геометрии Список использованной литературы: 2.Энциклопедия для детей Математика, 2001г 3.Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. — Л., 1978 4.Кокстер Г. С., Введение в геометрию, М., 1966 5. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. М.: Наука, 1967. 284 с. 6.Л. В. Тарасов. Этот удивительно симметричный мир. Москва. 7.Просвещение, 1982. 8.Биология. Учебное пособие для 6 класса). 9.Современный словарь иностранных слов:. — М.; Русский язык 1993, с. 557 10. Журнал «Математика в школе», №10, 2004г. 11. Журнал «Математика в школе», №9, 2005г. 12.. И.С. Петраков, «Математические кружки», Москва, «Просвещение», 1987 г. Симметрические многочлены от двух переменных
Симметрические многочлены от двух переменных Обозначим многочлен от переменных x и y через Р(x;y). Тогда P(y;x) означает многочлен, получаемый заменой в P(x;y) переменной x на y, а y на x. Например, если P(x;y) = 6×4 – 3x3y + 7xy3 + 8y4, то P(y;x) = 6y4 – 3y3x + 7yx3 + 8×4. Если выполняется равенство P(x;y) = P(y;x), то многочлен P(x;y) называют симметрическим. Например, симметрическими являются многочлены x + y, xy. В самом деле, при замене x на y и y на x из x + y получается равный ему многочлен y + x, а xy – равный ему одночлен yx. Приведем другие примеры симметрических многочленов: x2 + y2 – 5, 3×3 + 7xy + 3y3. Введем обозначения u = x + y и v = xy, назовем u и v элементарными симметрическими многочленами от x и y. Симметрическими являются и многочлены Sn = xn + yn – при замене x и y и y на x они переходят в равные им многочлены yn + xn. Теорема. Для любого симметрического многочлена P(x;y) от x и y существует такой многочлен f(u;v) от u и v, что Таким образом, любой симметрический многочлен от двух переменных x и y можно выразить в виде многочлена от u = x + y (δ1) и v = xy (δ2). Пример. P(x;y)= 2×4 – 3x3y + 5x2y2 – 3xy3 + 2y4. Сначала сгруппируем симметричные друг другу слагаемые и вынесем за скобки общие множители. Получим: P(x;y) = (2×4 + 2y4) – (3x3y + 3xy3) + 5x2y2=2(x4 + y4) – 3xy(x2 + y2) + 5x2y2. Так как u = x + y и v = xy, получаем: P(x;y)= 2(x4 + y4) – 3v(x2 + y2) + 5v2. Выразим x2 + y2 и x4 + y4 через элементарные симметрические многочлены u и v. x2 + y2 = (x2 + 2xy + y2 – 2xy) = (x + y)2 – 2xy = u2 – 2v. x4 + y4 = (x2)2 + (y2)2=(x2 + y2)2 – 2x2y2=(u2 – 2v)2 – 2v2=u4 – 4u2v + 4v2 – 2v2 = = u4 – 4u2v + 2v2. Пусть u = x + y и v = xy, тогда x2 + y2 = u2 – 2v, x4 + y4 = u4 – 4u2v + 2v2. Вернемся к исходным переменным: 10(u2 + 1/2v) (u2 – 36/5v) = 10((x + y)2 + 1/2xy)((x + y)2 + 36/5xy) = 10(x2 + y2 + 2,5xy)( x2 + y2 + 9,2xy). Симметрические многочлены от трех переменных Определим понятие симметрического многочлена от трех переменных x, y, z. Три переменные можно переставлять друг с другом шестью различными способами: (x; y; z); (x; z; y); (x; z; y); (y; z; x); (z; x; y); (z; y; x). Назовем Р(x; y; z) симметрическим, если он не меняется при всех перестановках переменных, т. е. если Р(x; y; z) = Р(x; z; y) = Р (x; z; y) = Р(y; z; x) = Р(z; x; y) = Р(z; y; x). Примерами таких многочленов могут служить: δ1 = x + y + z; δ2 = xy + x2 + yz; δ3 = xyz. Симметрическими многочленами являются и суммы Sn = xn + yn + zn. Разделим обе части уравнения на хІ≠0, получим О Ответ: Симметрические системы уравнений Система уравнений называется симметрической, если при замене x на y и y на x система не изменяется. Алгебра и начала математического анализа. 10 классКонспект урокаАлгебра и начала математического анализа, 10 класс Урок №13. Многочлены от нескольких переменных. Перечень вопросов, рассматриваемых в теме 1) определение многочлена от нескольких переменных; 2) понятие симметрических многочленов; 3) формулы сокращенного умножения для старших степеней; 5) метод неопределенных коэффициентов. Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением. Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х. Уравнение Р(x;y) = а, где Треугольник Паскаля —бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017. Теоретический материал для самостоятельного изучения Многочлены от нескольких переменных можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень, разлагать на множители — это вам известно из курса алгебры 7—9-го классов. Этот урок позволит нам несколько расширить знания о многочленах. Воспользуемся методом группировки (x+y+z+u) 2 =((x+y)+(z+u)) 2 = (x+y) 2 +2(x+y)(z+u)+(z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu). Итак, мы получили (x+y+z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu). Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены. Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением. 1) р(х; у)=2х+3у – однородный многочлен первой степени; соответственно 2х+3у=0 – однородное уравнение первой степени. 2) р(х; у)=3х 2 +5ху-7у 2 — однородный многочлен второй степени; соответственно 3х 2 +5ху-7у 2 =0 — однородное уравнение второй степени. 4) p(x; y)= anx n +an-1x n-1 y+an-2x n-2 y 2 +…+a1xy n-1 +a0y n — общий вид однородного многочлена n-й степени. Рассмотрим еще один метод разложения многочленов на множители- метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения Пример 3. Разложить на множители многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1.
Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1). Стоит отметить, что существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на примере.
Далее последовательно находим: Если z=1, то Ответ: (t; t), где t- любое действительное число. Теорема. Любой симметрический многочлен Р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у. x 4 +y 4 = 2xy(x 2 +y 2 )-(x 4 +y 4 )+3(xy) 2 и т.д. Уравнение Р(x;y) = а, где А теперь перейдем к такому понятию как бином Ньютона. Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять. Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен. (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно? Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля): (a+b) 4 =(a+b) 3 (a+b)=(a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 )(a+b)=a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 (a+b) 5 =(a+b) 4 (a+b)=(a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 )(a+b)=a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5 Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень: Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1): Общая формула бинома Ньютона:
Правая часть формулы называется разложением степени бинома. Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г. В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число. Доказать, что значение выражения 5 n +28n-1, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка. Решение: представим первое слагаемое выражение как 5 n = (4+1) n и воспользуемся формулой бинома Ньютона:
Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16. Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля Из данных многочленов выделите симметрические: Решение: к данному заданию применим определение симметрических многочленов (Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х). Получим, что нам подходят 1 и 4 пункты. (а+b) 5 = __a 5 +___a 4 b+___a 3 b 2 +___a 2 b 3 +___ab 4 +__b 5 Решение: для решения данного задания воспользуемся треугольником Паскаля 1 Нас интересует последняя строчка. Применив ее, получим ответ: (а+b) 5 = 1a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +1b 5 |
, 
, 
.
поставим 
, и вместо 
; 
; 
и 
.
;
.
имеет корни 
и 
. Не решая этого уравнения, выразим через 
и 
суммы 
, 
. Выражение 
, а затем применим теорему Виета.
.
.
равна 13.
, т.к. 
, а 
, то получим 
.
.
и 
, то систему уравнений называют симметрической системой уравнений.
, 
.
с корнями 
.
, 
. Остается решить систему уравнений:
и б) 
; 
.
, то функция называется нечетной, например:
для всех 
т. е. 
Обозначим 
тогда
Получаем 
Следовательно, имеем
и 
,
б 
2 и 
, называютсимметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен.
, т.е. у=х. Это значит, что любая пара вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения. Между прочим, и отмеченная нами ранее пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений.
, называют симметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен. Мы с вами рассматривали его на предыдущем уроке.
.
— называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые — членами бинома.