Упрощение выражений
Одно из самых распространенных заданий в алгебре звучит так: «Упростите выражение». Сделать это можно используя один из ниже перечисленных приемов, но чаще всего тебе потребуется их комбинация.
Приведение подобных слагаемых.
Для примера упростим такое выражение:
Подобные слагаемые я выделю разными цветами и посчитаю. Кстати, знак перед слагаемым относится к этому слагаемому.
Как видишь, больше одинаковых буквенных частей нет. Выражение упрощено.
Умножение одночленов и многочленов.
При умножении одночленов используют правила умножения степеней.
Перемножим три одночлена:
Разными цветами выделю то, что буду последовательно перемножать.
Чтобы умножить одночлен на многочлен выражение за скобками умножить на каждое слагаемое в скобках. Подробности в следующем примере.
Осталось вспомнить умножение многочлена на многочлен. При таком вот умножении надо каждое слагаемое в первых скобках умножить на каждое слагаемое во вторых скобках, результаты сложить или вычесть в зависимости от знаков слагаемых.
Вынесение общего множителя за скобки.
Разбираться будем на примере.
Дано такое выражение:
Что общего у этих двух слагаемых? Правильно, в них обоих присутствует множитель x. Он и будет являться общим множителем, который надо вынести за скобку.
Возьмем другой пример.
Ну и давайте третий пример, только уже без комментариев.
Проверить правильность вынесения общего множителя за скобки можно путем раскрытия скобок (умножением).
Разложение многочлена на множители способом группировки.
Если надо разложить многочлен на множители, то способ группировки тебе пригодится.
Сгруппировать выражения можно лишь путем вынесения общих множителей за скобку. Но сделать это нужно так, чтобы скобки в итоге получились одинаковые. Зачем? Да затем, чтобы потом эти скобки вынести за другие скобки.
На примере будет яснее)
Беру пример самый простой, чисто для понимания того, что надо делать.
В первых двух слагаемых общим множителем является переменная а: выносим ее за скобку. Во вторых двух слагаемых общим множителем является число 6. Его тоже выносим за скобки.
Видишь получились две одинаковые скобки? Теперь они являются общим множителем. Выносим их за скобку и получаем милое произведение двух скобок:
Разложение квадратного трехчлена на множители.
Пусть дан квадратный трехчлен:
Чтобы разложить его на множители надо решить квадратное уравнение
Далее корни уравнения х1 и х2 подставить в следующую формулу:
Возьмем вот такой трехчлен:
Найдем корни квадратного уравнения.
Подставим их в формулу для разложения квадратного трехчлена на множители:
Что-то слишком много минусов во второй скобке. Чуть-чуть преобразуем ее:
Еще могут тебе пригодится:
— умение сокращать дроби;
А вот такие задания могут тебе встретится на экзамене.
2) Найти значение выражения при заданных значениях переменных:
3) Найти значение выражения при заданных значениях переменных:
Сборник однотипных заданий №2 на тему «Упрощение выражений», алгебра 7 класс
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Ответ: 2a + 12b + 2c + 4
Ответ: a + 2b + 12c + 2
Упростите выражение: (c + 2c) + 3b + b
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Похожие материалы
Сборник однотипных заданий №1 на тему «Упрощение выражений», алгебра 7 класс
«Рабочая программа по профильной математике 10-11 кл.»
Авторская программа «Углубленные темы математики профильного уровня»
Конспект урока и презентация на тему «Применение производной для решения задач в формате ЕГЭ»
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО АЛГЕБРЕ 10 КЛАСС 2020-2021 УЧЕБНЫЙ ГОД.docx
Конспект (практические задания) «Исследование функции с помощью первой производной»
Урок алгебры 8 класс тема «Теорема Виета»
Аналитическая справка учителя математики
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5290347 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах
Время чтения: 1 минута
СК предложил обучать педагогов выявлять деструктивное поведение учащихся
Время чтения: 1 минута
Кабмин утвердил список вузов, в которых можно получить второе высшее образование бесплатно
Время чтения: 2 минуты
В Башкирии школьные каникулы продлили до 14 ноября
Время чтения: 1 минута
Систему ЕГЭ сделают независимой от Microsoft
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Как упростить алгебраическое выражение
Некоторые алгебраические примеры одним видом способны наводить ужас на школьников. Длинные выражения не только пугают, но и очень затрудняют вычисления. Пытаясь сходу понять, что и за чем следует, недолго запутаться. Именно по этой причине математики всегда стараются максимально упростить «жуткое» задание и только потом приступают к его решению. Как ни странно, такой трюк значительно ускоряет процесс работы.
Упрощение является одним из фундаментальных моментов в алгебре. Если в простых задачах без него ещё можно обойтись, то более трудные для вычисления примеры могут оказаться «не по зубам». Тут-то и пригодятся эти навыки! Тем более что сложных математических знаний не требуется: достаточно будет всего лишь запомнить и научиться применять на практике несколько базовых приёмов и формул.
Необходимые знания и умения
Вне зависимости от сложности вычислений при решении любого выражения важно соблюдать порядок выполнения операций с числами:
Последние два пункта можно спокойно поменять местами и это никак не отразится на результате. Но складывать два соседних числа, когда рядом с одним из них стоит знак умножения категорически нельзя! Ответ если и получится, то неверный. Поэтому нужно запомнить последовательность.
Применение подобных
К таким элементам относятся числа с переменной одного порядка или одинаковой степени. Существуют и так называемые свободные члены, не имеющие рядом с собой буквенного обозначения неизвестного.
Суть заключается в том, что при отсутствии скобок можно упростить выражение, складывая или вычитая между собой подобные.
Несколько наглядных примеров:
Разложение числа на множители
Эта маленькая математическая хитрость, если научиться её правильно использовать, в будущем не раз поможет справиться с каверзной задачкой. Да и понять, как работает «система», несложно: разложением называют произведение нескольких элементов, вычисление которого даёт исходное значение. Таким образом, 20 можно представить как на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 или другим способом.
На заметку: множители всегда совпадают с делителями. Так что искать рабочую «пару» для разложения нужно среди чисел, на которые исходное делится без остатка.
Проделывать такую операцию можно как со свободными членами, так и с цифрами при переменной. Главное, не потерять последнюю во время вычислений — даже после разложения неизвестная не может взять и «уйти в никуда». Она остаётся при одном из множителей:
Простые числа, которые можно разделить лишь на себя или 1, никогда не раскладываются — в этом нет смысла.
Основные способы упрощения
Первое, за что цепляется взгляд:
Алгебраические примеры в школьной программе часто составляются с учётом того, что их можно красиво упростить.
Вычисления в скобках
Внимательно следите за знаком, стоящим перед скобками! Умножение или деление применяется к каждому элементу внутри, а минус — меняет имеющиеся знаки «+» или «-» на противоположные.
Скобки вычисляются по правилам либо по формулам сокращённого умножения, после чего приводятся подобные.
Сокращение дробей
Сокращать дроби тоже несложно. Они сами через раз «охотно убегают», стоит произвести операции с приведением подобных членов. Но упростить пример можно ещё до этого: обращайте внимание на числитель и знаменатель. Они нередко содержат явные или скрытые элементы, которые можно взаимно сократить. Правда, если в первом случае нужно всего лишь вычеркнуть лишнее, во втором придётся подумать, приводя часть выражения к виду для упрощения. Используемые методы:
Когда выражение или его часть находится под корнем, первостепенная задача упрощения практически аналогична случаю с дробями. Необходимо искать способы полностью от него избавиться или, если это невозможно, максимально сократить мешающий вычислениям знак. Например, до ненавязчивого √(3) или √(7).
Верный способ упростить подкоренное выражение — попытаться разложить его на множители, часть из которых выносится за пределы знака. Наглядный пример: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).
Другие маленькие хитрости и нюансы:
Упрощение степенного выражения
Если в случае простых вычислений на минус или плюс примеры упрощаются за счёт приведения подобных, то как быть при умножении или делении переменных с разными степенями? Их можно легко упростить, запомнив два основных момента:
Единственное условие для такого упрощения — одинаковое основание у обоих членов. Примеры для наглядности:
Отмечаем, что операции с числовыми значениями, стоящими перед переменными, происходят по обычным математическим правилам. И если присмотреться, то становится понятно, что степенные элементы выражения «работают» аналогично:
Как и в любом деле, при упрощении алгебраических выражений необходимо не только знание основ, но и практика. Уже через несколько занятий примеры, когда-то кажущиеся сложными, будут сокращаться без особого труда, превращаясь в короткие и легко решаемые.
Видео
Это видео поможет вам разобраться и запомнить, как упрощаются выражения.
Урок «Упрощение выражений» (7 класс)
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тема: «Упрощение выражений»
Абсолютно всем нужна
На уроке работай старательно,
И успех тебя ждет обязательно.
1. продолжить работу по формированию умения, упрощать выражения и применять эти умения при решении уравнений;
2. ввести понятия подобных членов и коэффициента;
3. развитие логического мышления;
4. развитие трудолюбия и целеустремленности.
1. Образовательные: формировать умение применять правило сложения подобных слагаемых и применять это правило при решении уравнений;
2. Воспитательные: воспитывать у учащихся интерес к предмету, самостоятельность и навыки самоконтроля;
3. Развивающие: развивать восприятие, логическое и математическое мышление;
1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания
4. Решение упражнений на закрепление изученного материала
6. Разноуровневая самостоятельная работа
8. Подведение итогов урока
1. Здравствуйте, ребята и гости. Сядем. Начнем урок. Тема нашего урока: «Упрощение выражений». Цель нашего урока:
1. продолжить работу по формированию умения, упрощать выражения и применять эти умения при решении уравнений;
2. введем понятия подобных членов и коэффициента;
Сначала ребята проверим домашнее задание (№ 612, №614 а, в). Кто получил индивидуальные карточки-задания? Результаты узнаете на следующем уроке.
У кого имеются ошибки, исправьте, пожалуйста.
3. Теперь ребята проведем устный счет. Вычислить наиболее удобным способом
Какие свойства умножения мы использовали при решении этих примеров? ( сочетательное и переместительное свойство умножения )
Какие свойства мы использовали при решении этих примеров? (распределительное свойство умножения)
4. Решение упражнений на закрепление изученного материала
Теперь ребята продолжим наш урок. Откройте, пожалуйста, тетради. Записываем дату на полях (22.11.2011 г.) классную работу, тему урока: «Упрощение выражений». Мы с вами будем решать упражнения с учебника упражнение № 573 стр.87. Решение этого номера покажу на доске.
В этом выражении имеются числа без буквенной части, их мы тоже будем называть подобными слагаемыми и будем подчеркивать двумя черточками.
Ребята, подчеркнем одной чертой слагаемые с буквенной частью и двумя черточками числа.
Используя это правило упрощения буквенных выражений, решим следующие уравнения
в) Чтобы решить это уравнение упростим левую часть уравнения. Мы видим подобные слагаемые.
Упрощение выражений
Свойства сложения, вычитания, умножения и деления полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в удобные выражения для вычислений. Научимся, как можно с помощью этих свойств упрощать выражения.
В этом выражении есть числа, при сложении которых получаются «круглые» числа. Заметив это, легко провести вычисления устно. Воспользуемся переместительным законом сложения.
Также для упрощения вычисления произведений можно использовать переместительный закон умножения.
Сочетательные и переместительные свойства используются и при упрощении буквенных выражений.
Распределительный закон умножения часто применяется для упрощения вычислений.
Применяя распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания к выражению « (a + b) · с и (a − b) · c », мы получаем выражение, не содержащее скобки.
В этом случае говорят, что мы раскрыли (опустили) скобки. Для применения свойств не имеет значения, где записан множитель « c » — перед скобками или после.
Раскроем скобки в выражениях.
Вынесение общего множителя за скобки
Поменяем местами правую и левую часть равенства:
В таких случаях говорят, что из « ac + bc » вынесен общий множитель « с » за скобки.
Примеры вынесения общего множителя за скобки.